Квадратичные функции и формы

Если $f(x, y)$ — билинейная функция, то $q(x) = f(x, x)$ называется **квадратичной функцией**. Далее предполагаем, что характеристика поля $\operatorname{char}\mathbb{F} \neq 2$. Это позволяет однозначно восстановить симметричную билинейную форму по квадратичной.

Выражение вида $$ q(x) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 + 2 \sum_{\substack{1 \leq i < j \leq n}} a_{ij} x_i x_j $$ называется **квадратичной формой**. Также его можно записать так: $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 + \sum_{\substack{i,j=1\\i \ne j}}^{n} a_{ij} x_i x_j $$ Так как $x_i x_j = x_j x_i$, можно систематизировать коэффициенты: $$ a'_{ij} = a'_{ji} = \frac{a_{ij} + a_{ji}}{2}. $$ $B = (a'_{ij})$ называется **матрицей квадратичной формы**, $B = B^{T}$. Выражение можно записать как: $$q(x) = [x]^{t}B[x]$$